โพรเจกชัน

                                      โปรเจกชัน (Projections)    
  
นิยาม 1.1  ให้  P  เป็นจุด  และ  L  เป็นเส้นตรงบนระนาบ  โปรเจกชันของจุด   P 
บนเส้นตรง  L  ซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนว่า  P’   คือจุดตัดของเส้นตรง  L  กับเส้นตรงที่ลากจากจุด  P  ไปตั้งฉากกับเส้นตรง  L    














   
                                                                  รูปที่  1.1
ถ้าจุด   P   อยู่บนเส้นตรง  L   โปรเจกชันของจุด  P   บนเส้นตรง   L  คือจุด   P’

                                                                    

   




                                                                                                                    รูปที่ 1.2
            
                โปรเจกชันของจุด  (2,3)      บนแกน   x    คือ    (2,0)
                โปรเจกชันของจุด  (2,3)     บนแกน    y    คือ    (0,3)
                โปรเจกชันของจุด  (-3,-1)   บนแกน    x    คือ    (-3,0)
                โปรเจกชันของจุด  (-3,-1)   บนแกน    y    คือ    (0,-1)
                โปรเจกชันของจุด  (x,y)     บนแกน    x     คือ    (x,0)
                โปรเจกชันของจุด  (x,y)     บนแกน    y     คือ    (0,y)

นิยาม 1.2    ให้   P1P2  เป็นส่วนของเส้นตรง  และ  L  เป็นเส้นตรงบนระนาบ 
โปรเจกชันของส่วนของเส้นตรง   P1P2   บนเส้นตรง  L  คือส่วนของเส้นตรง   P’1P’2  
โดยที่   P’1   และ  P’2   เป็นโปรเจกชันของ   P1   และ  P2  บนเส้นตรงตามลำดับ

                            
                          
                                                            รูปที่   1.3

ระยะระหว่างจุดสองจุด
                ให้   P1    และ   P2   เป็นจุดบนเส้นจำนวนจริง  ที่มีพิกัดเป็น 
x1  และ   x2   ตามลำดับ  ระยะระหว่างจุด   P1  และ  P2 
ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ว่า     |P1P2|      จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ     x1 – x2
นั่นคือ     |P1P2|  =  |x1 –x2|
                ให้    P1(x1,y1)     และ   P2(x2,y2)   เป็นจุดบนระนาบ 
เราจะพิจารณาระยะระหว่าง p1 และ p2



                           รูปที่   1.4                                                                             









           
            รูป 1.5
     



                1.   ถ้า    P1P2    ขนานกับแกน   x   แล้ว   y1  =  y2   โปรเจกชันของ    P1    และ  P2    บนแกน   x     คือ     P’1(x1,0)  
P’2(x2,0)   ตามลำดับ        จากรูปที่  1.4    จะเห็นว่า    P1P2   และ   P’1P’2  
เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมมุมฉาก  เพราะฉะนั้น      |P1P2|    =    |P’1P’2|  =  |x1 – x2|
                2.   ในทำนองเดียวกัน  ถ้า    P1P2    ขนานกับแกน   y    แล้ว    x1  =  x2    โปรเจกชันของ    P1    และ  P2    บนแกน   y     คือ     P’1(0,y1)   และ  P’2(0,y2)   ตามลำดับ  
จากรูปที่  1.5    จะเห็นว่า     |P1P2|    =    |P’1P’2|  =  |y1 – y2|
                3.   ถ้า    P1P2    ไม่ขนานกับแกน   x   และไม่ขนานกับแกน   y   

                             
  

                                  รูปที่  1.6

ลากเส้น   P1Q    และ   P2Q   ให้ขนานกับแกน   x    และแกน  y    ตามลำดับ 
ตัดกันที่จุด    Q    ดังนั้น    Q    จะมีพิกัดเป็น   (x2,y1)    และ    P1QP2  
เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม    P1QP2   เป็นมุมฉาก   จากทฤษฎีบทพิธากอรัส (Pythagorean
Theorem)  จะได้ว่า 
                                                    
    
ข้อสังเกต    ในกรณีที่    P1P2   ขนานกับแกน  x    หรือแกน  y    สูตรข้างบนนี้ก็เป็นจริง   
ทั้งนี้เพราะว่า          =   |a|

ทฤษฎีบท 1.1    ถ้า     P1(x1,y1)    และ     P2(x2,y2)     เป็นจุดบนระนาบ  ระยะระหว่างจุด    P1    และ    P2     คือ
                             |P1P2|    =  

ตัวอย่าง  1.2     จงหาระยะระหว่างจุด     P1(2,-1)    และ    P2(-1,3)
วิธีทำ                   |P1P2|     =  
                                              =     =    =  5

ตัวอย่าง  1.3    จงแสดงให้เห็นว่า  จุด   A(-7,6) ,   B(3,2)     และ   C(5,7)     เป็นจุดมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก  และหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม
วิธีทำ              |AB|     =    =    
                         |BC|     =    =    
                          |CA|     =    =    
                                      |AB|2   +   |BC|2  =  |CA|2   
                                        หรือ   116 + 29  =  145

ดังนั้น    ABC    จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  และมีพื้นที่เท่ากับ  
|AB||BC|    =    .  =  29      ตารางหน่วย

ตัวอย่าง  1.4   จงแสดงให้เห็นว่าจุด     A(-2,-3) ,   B(2,5)     และ     C(4,9)     เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
วิธีทำ      |AB|     =    =    
                 |BC|     =    =    
                 |CA|     =    =    
                                 |AB|   +   |BC|  =  |CA|   
                     หรือ    +   =  

ดังนั้น   จุดทั้งสามจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)